myk

قضیه ی فرما

قضیه کوچک فرما که برای تمایز آن با قضیه آخر فرما به این نام موسوم است بیان می‌کند اگر یک عدد p اول و a عددی صحیح باشد که $p\not |a$ دراین صورت $a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ .

این قضیه، اساسی برای آزمون اول بودن فرما است. از این قضیه می‌توان در یافت مرتبه هر عدد متباین با p به هنگ p برابراست با یک. بیانی دیگر از قضیه کوچک فرما نیز وجود دارد که بیان می‌کند اگر p عددی اول و a عددی صحیح باشد آنگاه $a^p\equiv a \pmod{p}$ .

پیر دو فرما اولین بار این قضیه را در ۱۸ اکتبر سال ۱۶۴۰ با دوست و محرم اسرار خود فرانکل بسی (Frénicle de Bessy) مطرح ساخت و بیان کرد:

«وقتی که p عدد اول است و a نسبت به p متباین a^p-۱ بر p بخشپذیر است. »

طبق معمول فرما این ادعا را اثبات نکرد و تنها بیان کرد این گزاره درست است. نخست اویلر در سال ۱۷۳۶ اثباتی برای این قضیه را در مقاله‌ای با عنوان "Theorematum Quorundam ad Numeros Primos Spectantium Demonstratio"، منتشر ساخت اما مشخص شد لایب نیتز اثباتی مشابه را در یک دست نوشته منتشر نشده از قبل در حدود سال ۱۶۸۳ انجام داده است.

اصطلاح قضیه کوچک فرما (Fermat's little theorem) اولین بار در سال ۱۹۱۳ توسط کورت هنسل (Kurt Hensel) استفاده شد. او بیان کرد:

« یک قضیه اساسی وجود دارد که در هر گروه متناهی برقرار است که معمولاً قضیه کوچک فرما گفته می‌شود چرا که فرما اولین فردی بوده است که بخش خاصی از آن را اثبات کرده است.»

این عبارت اولین بار در انگلیس در مقاله اروین کاپلانسکی با عنوان «تست لوکاس برای اعداد مرسن» بیان شد.

همچنین ریاضیدانان چینی نیز به طور مستقل فرضیه‌هایی شبیه قضیه کوچک فرما را بیان کرده اند که معمولاً تحت عنوان فرضیه‌های چینی شناخته می‌شوند.

این فرضیه بیان می‌کند p اول است اگر و فقط اگر $2^p\equiv 2 \pmod{p}$ .

وضوحاً اگر p اول باشد $2^p\equiv 2 \pmod{p}$ که این حالتی خاصی از قضیه فرما است اما عکس مطلب یعنی اینکه « اگر $2^p\equiv 2 \pmod{p}$ آنگاه p اول است » نادرست است ولذا کل مطلب نادرست است.

این مطلب حدود ۲۰۰۰ سال قبل از آنکه فرما قضیه خود را مطرح کند بیان شده است.

همانطور که گفته شد فرما در ابتدا قضیه را بدون اثبات ذکر کرده است و اولین اثبات قضیه را گودفرد ویلهلم لایب نیتز در یک دست نویس بدون تاریخ ارایه داده است. او نوشته است که اثبات قضیه را قبل از سال ۱۶۸۳ می‌دانسته است.

البته قضیه شکل خاصی از قضیه کلیتری موسوم به قضیه اویلر است که با اثبات آن در اصل اثبات قضیه فرما نیز انجام شده است اما در این قسمت برهان را مخصوص همین قضیه ارائه می دهیم.

مجموعه $A=\{1,2,3,...,p-1\}$ را در نظر می گیریم و فرض می کنیم $a\in \mathbb{Z}$ چنان باشد که $p\not |a$ .

چون مجموعه A یک دستگاه مخخف مانده‌ها به هنگ p است و a نسبت به p اول است مجموعه

B=\{a,2a,3a,...,(p-1)a\}

نیز یک دستگاه مخفف مانده‌ها به هنگ p است و لذا بنابر تعریف:

1.2.3...(p-1)\equiv a.2a.3a...(p-1)a \pmod{p}

پس:

1.2.3...(p-1)\equiv [1.2.3...(p-1)]a^{p-1} \pmod{p}

لذا داریم:

a^{p-1}\equiv 1 \pmod{\frac{p}{(1.2.3...(p-1),p)}}

اما چون هر یک از اعداد موجود در A نسبت به p اولند پس حاصل ضربشان نیز نسبت به p اول است و لذا $(1.2.3...(p-1),p)=1$ پس:

a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}

و برهان حکم کامل است.∎

تعمیم قضیه فرما-قضیه اویلر[ویرایش]

قضیه کوچک فرما حالتی خاص از قضیه اویلر است که بیان می‌کند اگر a عددی صحیح و m عددی طبیعی باشد که a,m)=1) آنگاه:

a^{\phi (m)}\equiv 1 \pmod{m}

به آسانی اگر قرار دهید m=p که در آن P عددی اول است، قضیه فرما بدست می‌آید. بعلاوه این قضیه به این صورت نیز قابل تعمیم است که p عددی اول باشد و n,m اعدادی طبیعی باشند که $m\equiv n \pmod{p-1}$ آنگاه $a^m\equiv a^n \pmod{p}$ . این قضیه در تعریف اعداد RSA و رمز گذاری کاربرد فراوان دارد.که برای تمایز آن با قضیه آخر فرما به این نام موسوم است بیان می‌کند اگر یک عدد p اول و a عددی صحیح باشد که $p\not |a$ دراین صورت $a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}$ .

«وقتی که p عدد اول است و a نسبت به p متباین a^p-۱ بر p بخشپذیر است. »

اصطلاح قضیه کوچک فرما (Fermat's little theorem) اولین بار در سال ۱۹۱۳ توسط کورت هنسل (Kurt Hensel) استفاده شد. او بیان کرد:

این عبارت اولین بار در انگلیس در مقاله اروین کاپلانسکی با عنوان «تست لوکاس برای اعداد مرسن» بیان شد.

این فرضیه بیان می‌کند p اول است اگر و فقط اگر $2^p\equiv 2 \pmod{p}$ .

این مطلب حدود ۲۰۰۰ سال قبل از آنکه فرما قضیه خود را مطرح کند بیان شده است.

مجموعه $A=\{1,2,3,...,p-1\}$ را در نظر می گیریم و فرض می کنیم $a\in \mathbb{Z}$ چنان باشد که $p\not |a$ .

چون مجموعه A یک دستگاه مخخف مانده‌ها به هنگ p است و a نسبت به p اول است مجموعه

B=\{a,2a,3a,...,(p-1)a\}

نیز یک دستگاه مخفف مانده‌ها به هنگ p است و لذا بنابر تعریف:

1.2.3...(p-1)\equiv a.2a.3a...(p-1)a \pmod{p}

پس:

1.2.3...(p-1)\equiv [1.2.3...(p-1)]a^{p-1} \pmod{p}

لذا داریم:

a^{p-1}\equiv 1 \pmod{\frac{p}{(1.2.3...(p-1),p)}}

اما چون هر یک از اعداد موجود در A نسبت به p اولند پس حاصل ضربشان نیز نسبت به p اول است و لذا $(1.2.3...(p-1),p)=1$ پس:

a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}

و برهان حکم کامل است.∎

تعمیم قضیه فرما-قضیه اویلر[ویرایش]

قضیه کوچک فرما حالتی خاص از قضیه اویلر است که بیان می‌کند اگر a عددی صحیح و m عددی طبیعی باشد که a,m)=1) آنگاه:

a^{\phi (m)}\equiv 1 \pmod{m}

برداشت:ویکی پدیا

۰ ۰

myk myk

زندگی نامه ریاضی دانان

زندگینامه آبل

نیلس آبل یکی از پیشرو ترین ریاضیدانان قرن نوزدهم و حتمالا بزرگترین نابغه برخاسته از کشورهای اسکاندیناوی است . آبل همراه با معاصرانش ،گاوس و کوشی یکی از پیشگامان ابداع ریاضیات نوین بوده است . که مشخصه آن تاکید بر اثبات دقیق است. رندگیش آمیزه تندی بود از خوشبینی شوخ طبعانه درهنگامی که تحت فشار فقر و گمنامی قرارداشت . درقبال دستاوردهای درخشان برجسته فراوانش درایام جوانی ، متواضع بود و دررویارویی با مرگی زودرس به آرامی تسلیم شد

آبل یکی از شش فرزند کشیش فقیری دریکی از روستاهای نروژبود . بیش ابز شانزده سال نداشت که استعداد عظیمش آشکار شد و مورد تشویق یکی از معلمینش قرار گرفت . و چیزی نگذشت که به خواندن و فهمیدن کارهای نیوتن ، اویلر، لاگرانژ پرداخت . وی به عنوان تفسیری درمورد این تجربه ، نکته زیر را بعدها دریکی از یادداشتهای ریاضی اش به نوشت (( به نظر من اگر کسی بخواهد درریاضی پیشرفت کند ، باید به مطالعه آثار اساتیدو نه شاگردان بپردازد)) هجده سال بیشتر نداشت که پدرش مردو خانواده را درتنگدستی به جا گذاشت .آنها با کمک دوستان و همسایگان امرار معاش می کردند و با کمک مالی چند تن از استادان ، این پسر توانست درسال 1821 به طریقی وارد دانشگاه اسلو شد . نخستین پژوهشهای او ، که شامل حل مسئله کلاسیک منحنی همزمان به وسیله معادله انتگرالی بود درسال 1823 منتشر شد اولین جواب معادله ای از این نوع بود و راهگشایی برای پیشرفت وسیع معادلات انتگرالی دراواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم شد

دررشد علمی آبل بزودی از نروژ فراتر رفته و تصمیم به دیدار از فرانسه و آلمان گرفت .با حمایت دوستان و استادانش تقاضایی به دولت داد،که پس از تشریفات و تاخیرات متعارف ، بورسی برای یک مسافرت طولانی علمی درقاره اروپا دریافت کرد. سال اول مسافرت خود به خارج رابیشتر دربرلین گذراند ودرآنجابا ریاضیدان آماتور و جوان و پرشوری به نام آگوست کرل که بعدها دوست نزدیک مشاور و حامی او شد ، آشنا گردید . درمقابل آبل ، کرل را به انتشار مجله مشهورش به نام مجله ریاضیات محض و کاربردی برانگیخت این اولین مجله ادواری جهان بود که کلا به پژوهشهای ریاضی اختصاصی داشت دربرلین آبل تحت تاثیر مکتب فکری جدیدی قرار گرفت که توسط گاوس وکوشی رهبری می شد.وبیشتر تاکیدش براستنتاج دقیق بود تا بر محاسبه مشروح درآن زمان بجز کار عظیم گاوس روی سریها ی فوق هندسی کمتر اثباتی در انالیز بود که امروزه نیز معتبر به شمار می آید . همان طور که آبل درنامه ای به یکی از دوستانش تشریح می کند اگر ساده ترین حالات را کنار بگذاریم درتمام ریاضیات حتی یک سری بینهایت هم نمی توان یافت که مجموع آن دقیقا تعیین شده باشد

آبل جزوه مربوط به معادلات درجه پنجم خود را به امید آنکه به مثابه یک جواز عبور علمی به کار رود برای گاوس به گوتین فرستاد ولی گاوس به دلیلی که روشن نیست بدون آنکه به آن حتی نظری بیاندازد آنرا کنار گذاشت ، زیرا سی سال بعد پس از مرگش آن را سر بسته دربین اوراقش یافتند . با تاسف برای هردو نفر ، آبل احساس کرد که درمورد او کار شکنی شده است و تصمیم گرفت بدون ملاقات با گاوس به پاریس برود

درپاریس با کوشی ، لوژاندر و دیگران ملاقات کرد ولی این ملاقاتها سرسری بود و او آن طور که می بایست شناخته نشد . وی درآن زمان چندین مقاله مهم درمجله کرل منتشر کرده بود ولی فرانسویان کمتر از وجود این مجله ادواری مطلع بودند و آبل خجالتیتر از آن بود که با افراد تازه آشنا راجع به کارهای خود صحبت کند آبل انتظار داشت دربازگشت به استادی دانشگاه منصوب شود ولی باز هم آرزوهایش نقش برآب شد . با تدریس خصوصی به امرار معاش پرداخت و مدت کوتاهی نیز به عنوان معلم کمکی دریک موسسه گمارده شد . دراین دوران یکسره مشغول کار بود و اغلب اوقات روی نظریه توابع بیضوی که آن را به عنوان عکس انتگرالهای بیضوی کش کرده بود کار می کرد . این نظریه بسرعت جای خود را به عنوان یکی از رشته های اصلی آنالیز قرن نوزدهم ، با کاربردهای فراوانی باز کرد . دراین اثنا آوازه شهرت آبل به همه مراکز ریاضی اروپا رسید و درردیف بزرگان ریاضی جهان قرار گرفت .ولی وی به علت گوشه گیریش از این ماجرا بی خبر ماند در اوایل سال 1829 مرض سلی که طی مسافرت به آن مبتلا شده بود چنان پیشروی کرد که اورا از کار کردن باز داشت و دربهار همان سال آبل درسن بیست و شش سالگی درگذشت . کمی پس از مرگش کرل دریادنامه ای به طعنه نوشت که تلاشهای آبل موفقیت آمیز بوده است و آبل باید به کرسی ریاضی دانشگاه برلین منصوب شود

کرل درمجله خود آبل را چنین می ستاید (( تمام آثار حاوی نشانه هایی از نبوغ و قدرت فکری حیرت انگیز است. می توان گفت که او می توانست با قدرتی مقاومت ناپذیر از همه موانع بگذرد و به عمق مسئله نفوذ کند وجه تمایز او خلوص و نجابت ذاتی وی و نیز تواضع کم نظیری بود که ارزش اورا به میزان نبوغ غیر عادیش با لا می برد . )) ولی ریاضیدانان برای یادآوری مردان بزرگ ریاضی روشهای مختصی به خود دارند و با گفتن معادله انتگرالی آبل، انتگرالها وتوابع آبل ، گروههای آبلی ، سری آبل ، فرمول مجموع جزئی آبل ، قضیه حدآبل درنظریه سریهای توانی ، و جمع پذیری آبلی از او یاد می کنند کمتر کسی است که اسمش به این همه موضوع و قضیه درریاضیات نوین پیوند خورده باشد و آنچه وی دردوران یک زندگی عادی می توانست انجام دهد مافوق تصور است

زندگینامه لئوناردو فیبوناچی

لئوناردوی پیزایی با طرح و حل مساله ای درباره ی سرمایه ی چند نفر، برای نخستین بار، اندیشه ی عدد منفی را به نام «‌قرض» در اروپا طرح کرد.خدمت بزرگ لئوناردوی پیزایی به دانش در این بود که برای نخستین بار دانشمندان اروپایی را با جبر و دستگاه عدد نویسی هندی آشنا کرد.
فیبوناچی در سال ۱۲۰۰ به زادگاه خود یعنی شهر پیزا در ایتالیا مراجعت نمود. پدر فیبوناچی گوگلیمو (Guglielmo) بوناچی (مهربان، ملایم bonacci ) خوانده می‌شد. مادر لئوناردو آلساندرا، (Alessandra) زمانی که لئو نه سال داشت درگذشت. لئوناردو پس از مرگش فیبوناچی نام گرفت. (برگرفته از فیلیوس بوناچی به معنای پسر بوناچی)
معرفی سیستم اعداد اعشاری به عنوان جایگزینی بسیار کارآمدتر به جای سیستم اعداد رومی که استفاده از آن از زمان امپراتوری روم رایج بوده‌است از جمله مهم‌ترین کارهای این ریاضیدان بزرگ در طول حیاتش بوده‌است. وی در ابتدای اولین بخش از کتاب خود به نام Liber abci در مورد این سیستم چنین می‌گوید:
«نه رقم هندی وجود دارد: ۱ ۲ ۳ ۴ ۵ ۶ ۷ ۸ ۹ که به‌وسیله آنها و همچنین علامت ۰ که در عربی صفر نامیده می‌شود می‌توان هر عددی را به شیوهای که توضیح داده خواهد شد نوشت.»

اعداد فیبوناچی
تعریف: دنباله ی از اعداد که 2 جمله اول آن 1 هستند و هر جمله از حاصل جمع دو جمله ی قبل خود به دست می‌ آید دنباله ی اعداد فیبوناچی نامیده میشود: 1,1,2,3,5,8,13,21,34 چند جمله ی اول این دنباله است

زندگینامه ارشمیدس ریاضیدان یونانی ( 212 – 287ق.م )

رشمیدسای خود برداشته و باقی آن را با فلز نقره که بسیار ارزانتر بود، مخلوط کرده و تاج را ساخته است. هر چند ارشمیدس می دانست که فلزات گوناگون وزن مخصوص متفاوت دارند، ولی تا آن لحظه این طور فکر می کرد که مجبور است تاج شاهی را ذوب کرده، آنرا به صورت شمش طلا قالب ریزی کند تا بتواند وزن آن را با شمش طلای نابی به همان اندازه مقایسه کند؛ اما در این روش، تاج شاهی از بین می رفت، پس او به دنبال راه دیگری بود. در خزینه حمام مشاهده نمود که آب خزینه بالاتر آمده و بلافاصله تشخیص داد که بدن او میزان معینی از آب را در خزینه حمام پس زده و جا به جا کرده است.

وی با عجله و سراسیمه به خانه بازگشت و شروع به آزمایش عملی این یافته کرد. او چنین اندیشید که اجسام هم اندازه، مقدار آب یکسانی را جا به جا می کنند، ولی اگر از نظر وزنی به موضوع نگاه کنیم، یک شمش نیم کیلویی طلا کوچکتر از یک شمش نقره به همان وزن است( طلا تقریباٌ‌ دو برابر نقره وزن دارد). بنابراین، باید مقدار کمتری آب را جا به جا کند. این فرضیه ارشمیدس بود و آزمایشهای او این فرضیه را اثبات کرد. او برای این کار نیاز به یک ظرف آب و سه وزنه با وزنهای مساوی داشت که این سه وزنه عبارت بودند از: تاج شاهی، هم وزن آن طلای ناب و دوباره هم وزن آن نقره ناب. او در آزمایش خود، تشخیص داد که تاج شاهی میزان بیشتری آب را نسبت به شمش طلای هم وزنش پس می راند، ولی این میزان آب کمتر از میزان آبی است که شمش نقره هم وزن آن را جا به جا می کند. به این ترتیب، ثابت شد که تاج شاهی از طلای ناب و خالص ساخته نشده، بلکه جواهر ساز متقلب و خیانتکار آن را از مخلوطی از طلا و نقره ساخته است و به این ترتیب، ارشمیدس یکی از چشمگیرترین رازهای طبیعت را کشف کرد و آن هم اینکه، می توان وزن اجسام سخت را به وسیله مقدار آبی که جا به جا می کنند، اندازه گیری کرد. این قانون« وزن مخصوص» را اصل ارشمیدس می نامند که امروزه به آن چگالی هم می گویند. حتی امروز با گذشت 23 قرن از آن زمان، بسیاری از دانشمندان در محاسبات خود متکی به این اصل هستند.

به هر حال، ارشمیدس در رشته ریاضیات از ظرفیت هوشی بسیار بالا و چشمگیری برخوردار بود. وی توانست سطح و حجم اجسامی مانند کره، استوانه و مخروط را حساب کند و روش نوینی را برای اندازه گیری در دانش ریاضی پدید آورد. بدست آوردن عدد نیز از کارهای گرانقدر وی می باشد. او کتابهایی درباره خصوصیات و روش های اندازه گیری اشکال هندسی و حجم آنها از قبیل مخروط ، منحنی حلزونی و خط مارپیچ، سهمی، سطح کره «ماده غذایی» و استوانه نوشت. علاوه بر آن، قوانینی درباره سطح شیب دار، پیچ اهرم و مرکز ثقل کشف کرد.

ارشمیدس در مورد خودش گفته ای دارد که با وجود گذشت قرنها جاودان مانده است. وی بیان می دارد : « نقطه اتکایی به من بدهید، من زمین را از جا بلند خواهم کرد». عین همین مطلب، به صورت دیگری در متون ادبی زبان یونانی از قول ارشمیدس نقل شده است؛ اما مفهوم در هر دو صورت یکی است. ارشمیدس همچون عقاب، گوشه گیر و منزوی بود. در جوانی به مصر مسافرت کرد و مدتی در شهر اسکندریه به تحصیل پرداخت و در این شهر دو دوست قدیمی یافت. یکی از آنها « کونون» ( این شخص ریاضیدان قابلی بود که چه از لحاظ فکری و چه به لحاظ شخصیت، احترام بسیاری برای ارشمیدس قائل بود) و دیگری « اراتوستن» که گرچه ریاضیدان لایقی بود، اما مردی سطحی به شمار می رفت که برای خویش احترام خارق العاده ای قائل بود.

ارشمیدس با کونون ارتباط و مکاتبه دائمی داشت و قسمت مهمی از آثار خویش را در این نامه ها با او در میان گذاشت. با درگذشت کونون، ارشمیدس با شاگردان وی مکاتبه می کرد.

3 و 71/10 3 است. گذشته از آن، روشهای مختلف او برای تعیین جذر تقریبی اعداد نشان می دهد که وی قبل از ریاضی دانان هندی، با کسرهای متصل یا مداوم و متناوب آشنایی داشته است. وی در حساب، روش غیر عملی و چند عملی یونانیان را - که برای نمایش اعداد از علائم متفاوت استفاده می کردند- کنار گذاشت و دستگاه شمارشی را اختراع کرد که نوشتن و خواندن هر عدد بزرگی را امکان پذیر می ساخت.

دانش تعادل مایعات بوسیله ارشمیدس کشف شد و او توانست قوانین آنرا برای تعیین وضع تعادل اجسام غوطه ور به کار برد. همچنین برای اولین بار، برخی از اصول مکانیک را به وضوح بیان کرد و قوانین اهرم را کشف نمود.

در سال 1906 ج.ل. هایبرگ مورخ، دانشمند و متخصص تاریخ ریاضیات یونانی در شهر قسطنطنیه موفق به کشف مدرک با ارزشی شد. این مدرک کتابی است به نام قضایای مکانیک و روش آنها که ارشمیدس برای دوست خود اراتوستن فرستاده بود. موضوع این کتاب، مقایسه حجم یا سطح نامعلوم شکلی با حجم و سطوح معلوم اشکال دیگر است که بوسیله آن، ارشمیدس موفق به تعیین نتیجه مطلوب می شد. این روش یکی از عناوین افتخار ارشمیدس است که ما را مجاز می دارد تا او را اندیشمندی متجدد و امروزی بدانیم، زیرا وی همه چیز و هر چیزی را که استفاده از آن به نحوی ممکن بود، به کار می برد تا بتواند به مسائلی که ذهن او را مشغول می داشتند، حمله ور گردد. دومین نکته ای که ما را مجاز می دارد تا عنوان متجدد را به ارشمیدس بدهیم، روشهای محاسبه اوست. وی دو هزار سال قبل از اسحاق نیوتن و لایب نیتس موفق به اختراع «حساب انتگرال» شد و حتی در حل یکی از مسائل خویش نکته ای را به کار برد که بر مبنای آن، می توان او را از پیشقدمان حساب دیفرانسیل دانست.

زندگی ارشمیدس- همچون زندگی هر ریاضیدان دیگری که تامین کامل داشته باشد و بتواند همه ممکنات هوش و نبوغ خود را به مرحله اجرا درآورد- با آرامش کامل می گذشت. در سال 287 قبل از میلاد که رومیان شهر سیراکوز را به تصرف خود درآوردند، سردار رومی مارسلوس دستور داد که هیچ یک از سپاهیانش حق اذیت و آزار، توهین و ضرب و جرح این دانشمند و متفکر مشهور و بزرگ را ندارند. با این وجود، ارشمیدس قربانی غلبه رومیان بر شهر سیراکوز شد. او به وسیله یک سرباز مست رومی به قتل رسید و این در حالی بود که در میدان بازار شهر در حال اندیشیدن به یک مسئله ریاضی بود. می گویند آخرین کلمات او این بود : دایره های مرا خراب نکن. به این ترتیب، زندگی ارشمیدس بزرگترین دانشمند تمام دوران ها خاتمه پذیرفت. این ریاضیدان بی دفاع 75 ساله، در 287 قبل از میلاد درگذشت

دانشمند و ریاضیدان یونانی در سال 212 قبل از میلاد، در شهر سیراکوز یونان چشم به جهان گشود و در جوانی برای آموختن دانش به اسکندریه رفت. وی بیشتر دوران زندگی خود را در زادگاهش گذرانید و با فرمانروای این شهر، رابطه دوستی نزدیک داشت.

در اینجا سخن از معروفترین استحمامی است که یک انسان در تاریخ بشریت انجام داده است. در داستانها چنین آمده که بیش از 2000 سال پیش در شهر سیراکوز، پایتخت ایالت یونانی

سیسیل آن زمان، ارشمیدس ریاضیدان و مشاور دربار پادشاه یمرون، یکی از معروفترین اکتشافات خود را در خزینه حمام انجام داده است. روزی در حمام عمومی، پایش را داخل خزینه نهاد و در آن نشست. در حین انجام این کار، بالا آمدن آب خزینه را مشاهده نمود و ناگهان فکری به مغزش خطور کرد. او بلافاصله لنگی را به دور خود پیچید و با این شکل و شمایل به سمت خانه روانه شد و مرتب فریاد می زد، یافتم، یافتم. او چه چیزی را یافته بود؟ پادشاه به او ماموریت داده بود که راز جواهر ساز خیانتکار دربار را کشف و او را رسوا کند. شاه هیرون بر کار جواهر ساز شک کرده بود و چنین می پنداشت که بخشی از طلای تاج شاهی را برداشته است.

برداشته شده از:

www.historymath.blogfa.com

۰ ۰

myk myk

تاریخچه ریاضی

تهیه کننده : سید محمد هادی میرمطلبی
منبع : راسخون

انسان اولیه نسبت به اعداد بیگانه بود و شمارش اشیاء اطراف خود را به حسب غریزه یعنی همانطور که مثلاً مرغ خانگی تعداد جوجه هایش را می داند انجام می داد اما به زودی مجبور شد وسیله شمارش دقیق تری بوجود آورد لذا به کمک انگشتان دست دستگاه شماری پدید آورد که مبنای آن ۶۰ بود. این دستگاه شمار که بسیار پیچیده می باشد قدیمی ترین دستگاه شماری است که آثاری از آن در کهن ترین مدارک موجود یعنی نوشته های سومری مشاهده می شود. سومریها که تمدنشان مربوط به حدود هزار سال قبل از میلاد مسیح است در جنوب بین النهرین یعنی ناحیه بین دو رود دجله و فرات ساکن بودند. آنها در حدود ۲۵۰۰ سال قبل از میلاد با امپراطوری سامی عکاد متحد شدند و امپراطوری و تمدن آشوری را پدید آوردند.
سه قرن اول ریاضیات یونانی که با تلاشهای اولیه در هندسه برهانی بوسیله تالس در حدود ۶۰۰ سال قبل از میلاد شروع شده و با کتاب برجسته اصول اقلیدس در حدود ۳۰۰ سال قبل از میلاد به اوج رسید، دوره‌ای از دستاوردهای خارق العاده را تشکیل می‌دهد.
در حدود ۱۲۰۰ سال قبل از میلاد بود که قبایل بدوی “دوریایی” با ترک دژهای کوهستانی شمال برای دستیابی به قلمروهای مساعدتر در امتداد جنوب راهی شبه جزیره یونان شدند و متعاقب آن قبیله بزرگ آنها یعنی اسپارت را بنا کردند. بخش مهمی از سکنه قبلی برای حفظ جان خود ، به آسیای صغیر و زایر یونانی و جزایر یونانی دریای اژه گریختند و بعدها در آنجا مهاجرنشنهای تجاری یونانی را برپا کردند. در این مهاجرنشینها بود که در قرن ششم (ق.م) اساس مکتب یونانی نهاده شد و فلسفه یونانی شکوفا شد و هندسه برهانی تولد یافت. در این ضمن ایران بدل به امپراطوری بزگ نظامی شده بود و به پیروزی از یک برنامه توسعه طلبانه در سال ۵۴۶ (ق.م) شهر یونیا و مهاجرنشینهای یونانی آسیای صغیر را تسخیر نمود. در نتیجه عده‌ای از فیلسوفان یونانی مانند فیثاغورث موطن خود را ترک و به مهاجرنشینهای در حال رونق جنوب ایتالیا کوچ کردند. مدارس فلسفه و ریاضیات در “کروتونا” زیر نظر فیثاغورث در “الیا” زیر نظر کسنوفانس ، زنون و پارمیندس پدید آمدند.
در حدود۴۸۰ سال قبل از میلاد آرامش پنجاه ساله برای آتنیها پیش آمد که دوره درخشانی برای آنان بود و ریاضیدانان زیادی به آتن جذب شدند. در سال ۴۳۱ (ق.م) با آغاز جنگ “پلوپونزی” بین آتنیهای و آسپارتها ، صلح به پایان رسید و با شکست آتنیها دوباره رکورد حاصل شد.

ظهور افلاطون و نقش وی در تولید دانش ریاضی

اگرچه با پایان جنگ پلوپرنزی مبادله قدرت سیاسی کم اهمیت تر شد، اما رهبری فرهنگی خود را دوباره بدست آورد. افلاطون در آتن یا حوالی آن و در سال ۴۲۷ (ق.م) که در همان سال نیز طاعون بزرگی شیوع یافت و یک چهارم جمعیت آتن را هلاک رد و موجب شکست آنها شد، به دنیا آمد، وی فلسفه را در آنجا زیر نظر سقراط خواند و سپس در پی کسب حکم عازم سیر و سفرهای طولانی شد. وی بدین ترتیب ریاضیات را زیر نظر تیودوروس در ساحل آفریقا تحصیل کرد. در بازگشت به آتن در حدود سال ۳۸۷ (ق.م) آکادمی معروف خود را تاسیس کرد.
تقریبا تمام کارهای مهم ریاضی قرن چهارم (ق.م) بوسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده بود. آکادمی افلاطون به عنوان حلقه ارتباط ریاضیات فیثاغورثیان اولیه و ریاضیات اسکندریه در آمد. تاثیر افلاطون بر ریاضیات ، معلول هیچ یک از کشفیات ریاضی وی نبود، بلکه به خاطر این اعتقاد شورانگیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالیترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می‌آورد و از اینرو در پرورش فیلسوفان و کسانی که می‌بایست دولت آرمانی را اداره کنند، نقش اساسی داشت. این اعتقاد ، شعار معروف او را بر سر در آکادمی وی توجیه می‌کند: “کسی که هندسه نمی‌داند، داخل نشود.” بنابراین به دلیل رکن منطقی و نحوه برخورد ذهنی نابی که تصور می‌کرد مطالعه ریاضیات در شخص ایجاد می‌کند، ریاضیات به نظر افلاطون از بیشترین اهمیت برخوردار بود، و به همین جهت بود که جای پر ارزش را در برنامه درس آکادمی اشغال می‌کرد. در بیان افلاطون اولین توضیحات درباره فلسفه ریاضی موجود هست.

ادامه دهندگان مسیر افلاطون

* ایودوکسوس که هم نزد آرخوتاس و هم نزد افلاطون درس خوانده بود، مدرسه‌ای در سینویکوس در آسیای صغیر تاسیس کرد.
* منایخموس از معاشرین افلاطون و یکی از شاگردان ایودوکسوس ، مقاطع مخروطی را ابداع کرد.
* دینوستراتوس ، برادر منایخموس، هندسه دانی ماهر و از شاگردان افلاطون بود.
* تیاتیتوس ، مردی با استعدادهای خیلی عادی که احتمالا قسمت اعظم مطالب مقاله‌های دهم و یازدهم اقلیدس را نیز به او مدیونیم، یکی از شاگردان تیودوروس بود.
* ارسطو گرچه ادعای ریاضیدانی نداشت ولی سازمان دهنده منطقی قیاسی و نویسنده آثاری در باب موضوعات فیزیکی بود. وی تسلط خارق العاده‌ای بر روشهای ریاضی داشت.

مسیرهای تکامل ریاضیات در یونان

در تکامل ریاضیات طی ۳۰۰ سال اول ، سه خط سیر مهم و متمایز را می‌توان تشخیص داد.
* ابتدا ، بسط مطالبی است که در اصول مدون شد، که با توانایی توسط فیثاغورثیان شروع شد و بعدها بقرط ، ایودوروس ، تیاتیتوس ، دیگران مطالبی به آن اضافه کردند.
* خط سیر دوم شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بینهایت کوچکها و روندهای حدی و مجموع یابی که تا بعد از اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال در دوارن معاصر به وضوح نهایی دست نیافتند. پارادوکسهای زنون؛ روش افنای آنتیخوان و ایودوکسوس و نظر اتمی بودن جهان که به نام دموکریتوس مربوط است، به مسیر رشد دوم تعلق دارند.
* سومین مسیر تکاملی مربوط به هندسه عالی یا هندسه منحنیهایی بجز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است. شگفت آنکه قسمت عمده این هندسه عالی در تلاشهای مستمر برای حل سه مساله ترسیم که امروزه هم مشهورند عبارتند از: تضعیف مکعب ، تثلیث زاویه و تربیع دایره اختصاص دارد.
نخستین دانشمند معروف یونانی طالس ملطلی (۶۳۹- ۵۴۸ ق. م.) است که در پیدایش علوم نقش مهمی به عهده داشت و می توان وی را موجد علوم فیزیک، نجوم و هندسه دانست. در اوایل قرن ششم ق. م. فیثاغورث (۵۷۲-۵۰۰ ق. م.) از اهالی ساموس یونان کم کم ریاضیات را بر پایه و اساسی قرار داد و به ایجاد مکتب فلسفی خویش همت گماشت. پس از فیثاغورث باید از زنون فیلسوف و ریاضیدان یونانی که در ۴۹۰ ق. م. در ایلیا متولد شده است نام ببریم. در اوایل نیمه دوم قرن پنجم بقراط از اهالی کیوس قضایای متفرق آن زمان را گردآوری کرد و در حقیقت همین قضایا است که مبانی هندسه جدید ما را تشکیل می دهند.
در قرن چهارم قبل از میلاد افلاطون در باغ آکادموس در آتن مکتبی ایجاد کرد که نه قرن بعد از او نیز همچنان برپا ماند. این فیلسوف بزرگ به تکمیل منطق که رکن اساسی ریاضیات است همت گماشت و چندی بعد منجم و ریاضی دان معاصر وی ادوکس با ایجاد تئوری نسبتها نشان داد که کمیات اندازه نگرفتنی که تا آن زمان در مسیر علوم ریاضی گودالی حفر کرده بود هیچ چیز غیرعادی ندارد و می توان مانند سایر اعداد قواعد حساب را در مورد آنها به کار برد.
در قرن دوم ق. م. نام تنها ریاضی دانی که بیش از همه تجلی داشت ابرخس یا هیپارک بود. این ریاضیدان و منجم بزرگ گامهای بلند و استادانه ای در علم نجوم برداشت و مثلثات را نیز اختراع کرد. بطلمیوس که به احتمال قوی با امپراطوران بطالسه هیچگونه ارتباطی ندارد در تعقیب افکار هیپارک بسیار کوشید. در سال ۶۲۲ م. که حضرت محمد (ص) از مکه هجرت نمود در واقع آغاز شکفتگی تمدن اسلام بود.
در زمان مأمون خلیفه عباسی تمدن اسلام به حد اعتلای خود رسید به طوری که از اواسط قرن هشتم تا اواخر قرن یازدهم زبان عربی زبان علمی بین المللی شد. از ریاضیدانان بزرگ اسلامی این دوره یکی خوارزمی می باشد که در سال ۸۲۰ به هنگام خلافت مأمون در بغداد کتاب مشهور الجبر و المقابله را نوشت.
دیگر ابوالوفا (۹۹۸-۹۳۸) است که جداول مثلثاتی ذیقیمتی پدید آورد و بالاخره محمد بن هیثم (۱۰۳۹-۹۶۵) معروف به الحسن را باید نام برد که صاحب تألیفات بسیاری در ریاضیات و نجوم است. قرون وسطی از قرن پنجم تا قرن دوازدهم یکی از دردناکترین ادوار تاریخی اروپاست. عامه مردم در منتهای فلاکت و بدبختی به سر می بردند. برجسته ترین نامهایی که در این دوره ملاحظه می نماییم در مرحله اول لئونارد بوناکسی (۱۲۲۰-۱۱۷۰) ریاضیدان ایتالیایی است. دیگر نیکلاارسم فرانسوی می باشد که باید او را پیش قدم هندسه تحلیلی دانست.
در قرون پانزدهم و شانزدهم دانشمندان ایتالیایی و شاگردان آلمانی آنها در حساب عددی جبر و مکانیک ترقیات شایان نمودند. در اواخر قرن شانزدهم در فرانسه شخصی به نام فرانسوا ویت (۱۶۰۳-۱۵۴۰م) به پیشرفت علوم ریاضی خدمات ارزنده‌ای نمود. وی یکی از واضعین بزرگ علم جبر و مقابله جدید و در عین حال هندسه دان قابلی بود.
▪ کوپرنیک (۱۵۴۳-۱۴۷۳) منجم بزرگ لهستانی در اواسط قرن شانزدهم درکتاب مشهور خود به نام درباره دوران اجسام آسمانی منظومه شمسی را این چنین ارائه داد:
۱) مرکز منظومه شمسی خورشید است نه زمین.
۲) در حالیکه ماه به گرد زمین می چرخد سیارات دیگر همراه با خود زمین به گرد خورشید می چرخند.
۳) زمین در هر ۲۴ ساعت یکبار حول محور خود می چرخد، نه کره ستاره های ثابت.
پس از مرگ کوپرنیک مردی به نام تیکوبراهه در کشور دانمارک متولد شد. وی نشان داد که حرکت سیارات کاملاً با نمایش و تصویر دایره های هم مرکز وفق نمی دهد. تجزیه و تحلیل نتایج نظریه تیکوبراهه به یوهان کپلر که در سال آخر زندگی براهه دستیار وی بود محول گشت. پس از سالها کار وی به نخستین کشف مهم خود رسید و چنین یافت که سیارات در حرکت خود به گرد خورشید یک مدار کاملاً دایره شکل را نمی پیمایند بلکه همه آنها بر روی مدار بیضی شکل حرکت می کنند که خورشید نیز در یکی از دو کانون آنها قرار دارد. قرن هفدهم در تاریخ ریاضیات قرنی عجیب و معجزه آساست.
از فعالترین دانشمندان این قرن کشیشی پاریسی به نام مارن مرسن که می توان وی را گرانبها ترین قاصد علمی جهان دانست. در سال ۱۶۰۹ گالیله ریاضیات و نجوم را در دانشگاه پادوا در ایتالیا تدریس می کرد. وی یکی از واضعین مکتب تجربی است. وی قانون سقوط اجسام را به دست آورد و مفهوم شتاب را تعریف کرد. در همان اوقات که گالیله نخستین دوربین نجومی خود را به سوی آسمان متوجه کرد در ۳۱ مارس ۱۵۹۶ در تورن فرانسه رنه دکارت به دنیا آمد. نام ریاضیدان بزرگ سوئیسی «پوب گولدن» را نیز باید با نهایت افتخار ذکر کرد.
شهرت وی بواسطه قضایای مربوط به اجسام دوار است که نام او را دارا می باشد و در کتابی به نام مرکزثقل ذکر شده. دیگر از دانشمندان برجسته قرن هفدهم پی یر دوفرما ریاضیدان بزرگ فرانسوی است که یکی از برجسته ترین آثار او تئوری اعداد است که وی کاملاً بوجود آورنده آن می باشد. ریاضیدان بزرگ دیگری که در این قرن به خوبی درخشید ژیرارد زارک فرانسوی است که بیشتر به واسطه کارهای درخشانش در هنر معماری شهرت یافت و بالاخره ریاضی دان دیگر فرانسوی یعنی روبروال که بواسطه ترازوی مشهوری که نام او را همراه دارد همه جا معروف است.
در اواسط قرن هفدهم کم کم مقدمات اولیه آنالیز عناصر بی نهایت کوچک در تاریکی و ابهام به وجود آمد و رفته رفته سر و صدای آن به گوش مردم رسید. بدون شک پاسکال همراه با دکارت و فرما یکی از سه ریاضیدان بزرگ نیمه اول قرن هفدهم بود و نیز می توان ارزش او را در علم فیزیک برابر گالیله دانست.
در نیمه دوم قرن هفدهم ریاضی بطور دقیق دنبال شد. سه نابغه فنا ناپذیر این دوره یعنی نیوتن انگلیسی، لایب نیتس آلمانی و هویگنس هلندی جهان علم را روشن کرده بودند. لایب نیتس در سال ۱۶۸۴ با انتشار مقاله ای درباره حساب عناصر بی نهایت کوچک انقلابی برپا کرد. هوگنس نیز در تکمیل دینامیک و مکانیک استدلالی با نیوتن همکاری کرد و عملیات مختلف آنها باعث شد که ارزش واقعی حساب انتگرال در توسعه علوم دقیقه روشن شود.
در قرن هجدهم دیگر تمام طوفانهای قرن هفدهم فرو نشست و تحولات این قرن عجیب به یک دوره آرامش مبدل گردید. دالامبر فرانسوی آنالیز ریاضی را در مکانیک به کار برد و از روشهای آن استفاده کرد. کلرو رقیب او در ۱۸ سالگی کتابی به نام تفحصات درباره منحنی های دو انحنایی انتشار داد و در مدت شانزده سال رساله ای تهیه و به آکادمی علوم تقدیم نمود که شامل مطالب قابل توجهی مخصوصاً در مورد مکانیک آسمانی و هندسه بی نهایت کوچکها بود. دیگر لئونارد اویلر ریاضیدان بزرگ سوئیسی است که در ۱۵ آوریل ۱۷۰۷ م. در شهر بال متولد شد و در ۱۷ سپتامبر ۱۷۸۳ م. در روسیه درگذشت.
لاگرانژ از جمله بزرگترین ریاضیدانان تمام ادوار تاریخ بشر است. مکانیک تحلیلی او که در سال ۱۷۸۸ . عمومیت یافت بزرگترین شاهکار وی به شمار می رود. لاپلاس که در تدریس ریاضی دانشسرای عالی پاریس معاون لاگرانژ بود کتابی تحت عنوان مکانیک آسمانی در پنج جلد انتشار داد. گاسپار مونژ این نابغه دانشمند وقتی که هنوز بیست سال نداشت شاخه جدید علم هندسه به نام هندسه ترسیمی را بوجود آورد.
ژان باتیست فوریه در مسأله انتشار حرارت روش بدیع و جالبی اختراع کرد که یکی از مهمترین مباحث آنالیز ریاضی گردید. از دیگر دانشمندان بزرگ این قرن سیمون دنی پوآسون (۱۸۴۰-۱۷۸۱) فرانسوی و شاگرد لاپلاس می باشد که اکتشافات مهمی در ریاضیات نمود گائوس ریاضیدان شهیر آلمانی تئوری کامل مغناطیس را بوجود آورد. مطالعات او درباره انحناء و ترسیم نقشه ها و نمایش سطوح بر صفحات اصلی و اساسی می باشد.
کوشی فرانسوی که در سراسر نیمه اول قرن پانزدهم بر دیگر هموطنان برتری داشت با منطق دقیق خود تئوری های زیادی از حساب انتگرال را توسعه داد. آبل در سال ۱۸۲۴ ثابت نمود که صرفنظر از معادلات درجه اول تا درجه چهارم هیچ دستور جبری که بتواند معادله درجه پنجم را به نتیجه برساند وجود ندارد. گالوا که در ۲۶ اکتبر ۱۸۱۱ م. در پاریس متولد شد تئوری گروهها را که قبلاً بوسیله کوشی و لاگرانژ مطالعه شده بود در معادلات جبری به کار برد و گروه جانشینی هر معادله را مشخص کرد.
دیگر از دانشمندان بزرگ این قرن ژنرال پونسله فرانسوی می باشد که آثاری همچون «موارد استعمال آنالیز در ریاضی» و «خواص تصویری اشکال» دارد همچنین لازار کانو فرانسوی که اکتشافات هندسی او دارای اهمیت فوق العاده می باشد. میشل شال هندسه مطلق را با بالاترین درجه استادی به بالاترین حد ممکن ترقی داد. در نیمه اول قرن نوزدهم ریاضیدان روسی نیکلاس ایوانویچ لوباچوشکی نخستین کشف خود را درباره هندسه غیراقلیدسی به جامعه ریاضیات و فیزیک قازان تقدیم کرد.
ادوارد کومرنیز در نتیجه اختراع نوعی از اعداد به نام اعداد ایده آل جایزه ریاضیات آکادمی علوم پاریس را از آن خود کرد. در اینجا ذکر نام دانشمندانی نظیر شارل وایرشتراس و شارل هرمیت که در مورد توابع بیضوی کشفیات مهمی نمودند ضروری است. ژرژ کانتور ریاضیدان آلمانی مکه در روسیه تولد یافته بود در ربع آخر قرن نوزدهم با وضع فرضیه مجموعه ها اساس هندسه اقلیدسی را در هم کوفت.
▪ کانتور مجموعه را به دو صورت زیر تعریف کرد:
۱) اجتماع اشیایی که دارای صفت ممیزه مشترک باشند هر یک از آن اشیاء را عنصر مجموعه می گویند.
۲) اجتماع اشیایی مشخص و متمایز
ولی ابتکاری و تصوری هنری پوانکاره یا غول فکر ریاضی آخرین دانشمند جهانی است که به همه علوم واقف بود. وی در بیست و هفت سالگی بزرگترین اکتشاف خود یعنی توابع فوشین را به دنیای دانش تقدیم نمود. بعد از پوانکاره ریاضیدان سوئدی متیاگ لفلر کارهای او را ادامه داد و سپس ریاضیدان نامی فرانسوی امیل پیکارد در این راه قدم نهاد. در اواخر قرن نوزدهم علم فیزیک ریاضی به منتها درجه تکامل خود رسید و دانش نجوم مکانیک آسمانی تکمیل گردید. امروزه ریاضیات بیش از پیش در حریم سایر علوم نفوذ کرده و نه فقط علوم نجوم و فیزیک و شیمی تحت انضباط آن درآمده اند بلکه اصولاً ریاضیات دانش مطلق و روح علم شده است

۰ ۰

myk myk